EXPRESIONES ALGEBRAICAS.

IDENTIDADES NOTABLES.

TEN EN CUENTA❗.  solo lo hacemos cuando nos pide el ejercicio IDENTIDADES NOTABLES.

CUADRADO DE UNA SUMA.

Solo hay que aprender  unas formulas .

Quiero que veas de donde viene la formula, se utiliza la definición de potencia y el producto.

                            冖    冖     冖冖 冖冖

👀 (a + b)²= (a + b) • (a + b)= a² + ab + ba + b²

 CUADRADO DE LA SUMA de dos términos es = al... cuadrado del primero + el cuadrado del segundo + el doble del primero por el segundo.

👀(a + b)²= a² + b² + 2ab

Vamos a ver algún ejemplo.

• Ejemplo: Desarrolla la siguiente identidad notable.

 El cuadrado de la suma.

(5x² + 4x²)² = (5x²)² + (4x²)² + 2 •5x² • 4x

= 25x⁴ + 16x² + 40x³

Recuerda:

 el cuadrado del primero (5x²)² +

 el cuadrado del segundo (4x²)² +

el doble  del primero por el segundo. 2• 5x² • 4x

CUADRADO DE  UNA DIFERENCIA de dos términos es = al cuadrado del primero + el cuadrado del segundo ─ el doble del primero por el segundo.

👀(a ─ b)² = a² + b² ─ 2ab

Ejemplo. Opera y simplifica. 

(5x² – 4x)² = (5x²)² + (4x)² – 2•5x²•4x = 

                  =  25x⁴ + 16x² − 40x³=

                                               = 25x⁴ – 40x³+ 16x²

                  

          

SUMA POR DIFERENCIA.

La➕ suma de dos términos❌su diferencia➖ es igual al

 cuadrado del primero menos el cuadrado del segundo.

👀(a + b) • (a – b)= a² - b²

Opera.

(5x² + 4x) • (5x²- 4x) = 25x⁴ ─16x²

SEGUIMOS CON EL TEMA DE POLINOMIOS.

 AHORA VEREMOS …👀

                COCIENTE  DE UN POLINOMIO ENTRE ➗ UN                            MONOMIO.

Para dividir un polinomio entre un monomio se  divide cada término del polinomio ➗ el monomio.

👉Vamos a resolver esta división. ➗

(6x⁴ - 8x³ + 3x²) ∶  (2x²)=
= 6x⁴ ፡ (2x²) - 8x³ ፡ (2x²) +3x² ፡ (2x²) =
= 3x² -4x + 3
                          2
☺dividimos cada termino del primer monomio entre el segundo. (dividendo : divisor)

👀fíjate  como 3 ：2 no se puede dividir se coloca en forma de fracción.

                      👍EXTRAER EL FACTOR COMÚN.

YA VERAS. Sacar factor común consiste en extraer el factor común que se repite en todos los términos.
La operación se llama extracción del factor común.

                            😓Parece lio pero ya veras con los ejemplos.

P(x) = 6x⁴ - 12x³ + 18x² = 6x²( x² - 2x + 3)

        👍vamos paso a paso.

•  Nos fijamos y vemos que lo que tienen en común, es que todos los números son pares.
•  Entonces sacamos el mcd (recuerda lo descomponemos en factores primos y tomamos los comunes con menor exponente).mcd (6,12,18) = 6
• Una vez que sacamos el factor común de los coeficientes (números) miramos la  parte literal (las letras) cogemos la que tiene menor exponente, en este caso x²
• ENTONCES EL FACTOR COMÚN ES 6x²
• Y empezamos a dividir 6x⁴∶6x² = 6∶6 = 1 (no se pone); con las x restamos los exponentes sería      x⁴ - x²= x²
• QUEDARÍA.  x²

•  Ahora seguimos con los demás monomios. No te olvides de
  

          los signos  ( - y +)

• 12 ∶ 6 = 2;      x³- x²= x¹ como el uno no se pone queda x ⇒ 2x
• Y por último el 18 : 6 = 3; ahora  x² ∶ x² 👀esto es importante...
• x²∶x² te acuerdas se deja la misma bases y se restan los exponentes quedaría x⁰ y todos sabemos cualquier cosa elevada a cero da 1; como el uno no se pone quedaría 3 

👀OTROS EJEMPLOS.

                                                                5a²b³- 20a⁴b²= 5a²b² (b - 4a²)

• mcd(5,20) = 5                    
• Ahora escogemos la letras con los exponentes más pequeños  a² y b² el factor común es 5a²b²
• Empezamos a dividir 5:5= 1 no se pone, a² : a² = 1 y no se pone, seguimos con b³ : b² = b¹ el uno no se pone quedaría b
• Segundo monomio 20 ∶ 5= 4; a⁴: a² = a²; b² : b² = 1 no se pone quedaría 4a²
  

👍ahora más rápido.

                                     16x³y³z⁵ - 8x²y⁴ + 24x³y³z =
mcd(16,8,24) = 8       = 8x²y³ (2xz⁵ - y + 3xz)
la z no es común
por eso no la ponemos en el factor común
pero no se te olvide ponerla al dividir.

             POTENCIA DE UN POLINOMIO.
Una potencia de exponente natural de un polinomio es igual a multiplicar el polinomio por sí mismo tantas veces como lo indica  el exponente.

Calcula P(x)² del polinomio P(x) = (4x² + 3x).

1.  Repetimos el polinomio 2 veces que es lo que nos manda el exponente.
2.  Multiplicamos cada monomio del primero por el segundo, y multiplicando  también los exponentes porque es una suma.
3. Por último buscamos los monomios semejantes y sumamos los coeficientes y dejamos la misma parte literal.

                            冖        冖          冖冖   冖 冖
(4x²+ 3x)² = (4x²+ 3x) •(4x²+ 3x) =
                  =16x⁴+ 12x³ + 12x³ + 9x²=
                  = 16x⁴+ 24x³+ 9x²
                  

LOS POLINOMIOS. SUMAS Y RESTAS.

LOS POLINOMIOS.

RECUERDA.  SI LOS MONOMIOS QUE  SE SUMAN O RESTAN NO SON SEMEJANTES, SE DEJA INDICADA LA OPERACION Y SE OBTIENE UNA EXPRESION ALGEBRAICA QUE RECIBE EL NOMBRE DE POLINOMIO.

                                                             POLINOMIO.

• Es una expresión algebraica formada por la suma  o la resta de varios monomios NO SEMEJANTES que se llaman TÉRMINOS.                    

☺FIJATE COMO SE LLAMAN LOS TÉRMINO DE LOS POLINOMIOS.

• EL TÉRMINO PRINCIPAL. Es el monomio de mayor grado. Su coeficiente es el coeficiente principal.
• EL TÉRMINO INDEPENDIENTE. Es el monomio que no tiene parte literal.
• GRADO de un polinomio es el mayor de los grados de los monomios que lo forman.

👀 esta tabla es para aprender a distinguir un poco los términos.

pero..... yo los suelo llamar así

👇

☺Al polinomio de dos sumandos se le llama BINOMIO.

☺Al polinomio de tres sumandos TRINOMIO.

☺Más de  tres términos se utiliza el termino de POLINOMIO.

❕TEN EN CUENTA❕

Un polinomio con una sola variante (como x) es completo si tiene términos de todos los grados intermedios, desde el de mayor grado al término independiente, y es incompleto si falta algún término.

Ejemplo .   P(x)= -9x² + 11x -6 es un polinomio completo de grado 2.

                    Q(x) = 3x² -2 es un polinomio incompleto de grado 2.

SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS.

• Para sumar y restar polinomios se suman o restan los monomios semejantes que lo forman.
• El proceso de sumar y restar los términos semejantes de un polinomio se llama REDUCIR TÉRMINOS.
• 
  
• 👌 👌👌👌 Vamos a sumar y restar y todo a la vez.

P(x) = 3x² -6x +7    Q(x) = -2x² +8x     R(x)  = x² -10    

Vamos a sumar....

P(x) + Q(x) = (3x² -6x +7) + (-2x² +8x)= 3x² -6x +7 -2x² +8x=

                                                                 =x²+2x+7

Vamos a restar...

P(x) - Q(x) = 3x² - 6x+7 - (-2x² + 8x)= 3x² -6x + 7 +2x² - 8x=

                                                              = 5x² - 14x +7

Vamos a restar y sumar...

P(x) - Q(x) + R(x) = 3x² - 6x +7 - (-2x² + 8x) + x² - 10=

                                = 3x² -6x + 7 +2x² -8x + x² - 10 =

                                = 6x² -14x -3

PRODUCTO, DIVISION Y POTENCIA DE POLINOMIOS.

👉PRODUCTO DE UN NÚMERO POR UN POLINOMIO.

☺Para multiplicar un número por un polinomio, se multiplica dicho número por cada uno de los monomios que forman el polinomio.

• Calcula el triple del polinomio P(x)= 6x⁵ + 2x² - 3

  

       3P(x) = 6x⁵ + 2x² -3
                 3(6x⁵ + 2x² - 3) = 18x⁵ + 6x² -9

❗TEN EN CUENTA❗

El producto también se puede escribir de forma habitual de una multiplicación.|

👀   se coloca cada termino con la parte literal que le corresponde, así es mas fácil para empezar a multiplicar.. 

Si te lías puedes poner 0 y la parte literal que falta. en el ejemplo falta 0x².

PRODUCTO DE DOS POLINOMIOS.

❗ATENCION❗ ESTO ES UN POCO DE LIO😓. VETE DESPACIO, Y FIJATE BIEN YA VERAS COMO LO CONSIGUES. ANIMOOOOO❗👍👍👍👍👍👍👍

 EMPEZAMOS.

Halla el producto de los polinomios.

P(x) = 3x² + 2x ー6          y        Q(x) = ー2x + 1

• Ponemos paréntesis (3x² + 2x ー 6) • (ー2x +1)=
  

• Hay que multiplicar cada término del primero por los del segundo. Con los signos positivo y negativo cuando corresponda y en orden.

     =3x² • (ー2x) + 3x²•1 + 2x • (ー2x) + 2x • 1 ー6 • (ー2x) ー6 •1=

• Empezamos a operar, ya sabemos  multiplicamos los coeficientes ojo con los signos y sumamos los exponentes cuando corresponda.

    =ー6x³ + 3x² ー4x² +2x +12x ㄧ6 =

• Ahora lo más fácil busca los monomios semejantes suma o resta y deja la misma parte literal.

         = - 6x³ –x² + 14x −6

        PUES NO ES TAN DIFICIL SOLO FIJATE Y VETE DESPACIO HASTA QUE COJAS PRÁCTICA.👍

• AHORA UN EJEMPLO MÁS.

           (5x² − 2x – 3) • (x + 2)=

     = 5x²• x +5x²• 2 -2x • x -2x • 2 -3•x -3•2=

     =5x³ + 10x² -2x² -4x -3x -6 = 

   = 5x³ +8x² -7x -6

      

Identidades notables 01 SECUNDARIA (3ºESO) matematicas factorizacion pol...

Sumas, restas, productos, potencias, divisiones de monomios.

SEGUIMOS CON EL ÁLGEBRA.

VAMOS A VER AHORA.....

 LOS MONOMIOS.

👀¿QUÉ ES UN MONOMIO?

ES UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA FORMADA POR EL PRODUCTO DE UN NUMERO CON UNA O VARIAS VARIABLES ELEVADAS A EXPONENTES NATURALES.

 EXPONENTES NATURALES(NÚMEROS ENTEROS POSITIVOS)

👀MONOMIO ES UNA EXPRESIÓN MATEMÁTICA  QUE NO CONTIENE NI SUMAS NI RESTAS. consta de un solo termino.

MIRA👀 Y FÍJATE
  En estas expresiones algebraicas.   8x³     2x⁴   3x 
                       están formados por el producto de un número y una letra.
                                 reciben el nombre de... MONOMIOS.

*TEN EN CUENTA.  3X²   ES UN MONOMIO YA QUE PUEDE ESCRIBIRSE COMO 3 X² 
                               5                                                                                       5                                                                                                               
*TEN EN CUENTA. Habitualmente no se escribe el punto que representa la multiplicación,

👀UN MONOMIO ESTA FORMADO POR....

UN COEFICIENTE. Numero que acompaña a la parte literal.

PARTE LITERAL.Letras con sus componentes.

El grado de un monomio es el exponente de la letra.

      🙉   ¿Y si  un monomio esta  formado por una sola           letra?¿Cuál es su coeficiente?

                       ☺pues su coeficiente es 1.

Ejemplo: EL COEFICIENTE DE  x⁷ ES 1 

¿Cual es el grado de de un monomio?

El grado de un monomio es el exponente de la letra.

Ejemplo. 8x³ el exponente es 3

el de 2x⁴ el exponente es 4

y el de 3x el exponente es 1

SUMAS  RESTAS.

👀 ESTOS MONOMIOS Y 👀 EN QUE SE PARECEN.

12X³      4X³

Dos monomios son semejantes si tienen la misma parte literal

* TEN EN CUENTA. LAS OPERACIONES CON MONOMIOS TIENEN LAS MISMAS PROPIEDADES QUE LAS OPERACIONES CON NÚMEROS.

Suma y resta de monomios.

👀Los monomios solo se pueden sumar o restar si son semejantes (TIENEN LA MISMA PARTE LITERAL).

Solo hay que sumar o restar los coeficientes y mantener la misma parte literal.

 que fácil.😄

👀Halla la suma y la diferencia de...
           A(x) = -3x² y B(x)= 4x⁴

• A(x) + B(x) = -3x² + 4x² =(-3 + 4)x²= x²
• A(x) - B(x) = -3x² - 4x² = (-3 -4)x² = -7x²

👀Cuando dos monomios no son semejantes (NO TIENEN LA MISMA PARTE LITERAL), su suma y su resta se dejan indicada.

halla la suma y la resta de....

A(x) = 7x² B(x)= 5x

• A(x) + B(x) = 7x² + 5x
• A(x) - B(X) = 7x² - 5x

RECUERDA.Para sumar y restar solo te tienes que 👀 la  parte literal. Si es igual haces la suma o la resta y si no es igual dejas la suma o la resta indicada.

 PRODUCTO DE UN NÚMERO POR UN MONOMIO.

👀Para multiplicar un número por un monomio se multiplica el número por el coeficiente del

 monomio y se escribe la misma parte literal.

👍 MIRA QUE FÁCIL ES.....

3 . 5x³ = 15x³

-2 . 3 x = - 2.3 x = -6 x             

         5              5               5

-4 . 3x²y = -12x²y

  RECUERDA LA REGLA DE LOS SIGNOS PARA MULTIPLICAR Y                                                                                          TAMBIÉN DIVIDIR.

 

 ATENCIÓN AQUÍ CAMBIAMOS UN POCO

PRODUCTO DE MONOMIOS.

PARA MULTIPLICAR CUALQUIER  PAR DE MONOMIOS, SE MULTIPLICAN LOS COEFICIENTES Y LAS PARTES LITERALES y se suman los exponente.

Por un lado se multiplican los coeficientes y por otro la parte literal

VAMOS A MULTIPLICAR ESTOS MONOMIOS.

TIENEN DOS INCÓGNITAS O VARIABLES SE PONE ASÍ... 

        A(x, y) = -2x²y                   B(x,y) = 5x³y²

Ahora colocamos los monomios para multiplicar.

A(x,y) . B(x,y) = -2x²y . 5x³y² =

                      = (-2.5). x².y. x³. y² =

                       = -10x⁵y³  

👀 que fácil, he multiplicado los coeficientes,luego busque las incógnitas iguales y como estamos multiplicando solo sume los exponentes. RECUERDA CUANDO NO LLEVA EXPONENTE ES... 1

POTENCIA DE UN MONOMIO.

😬Para calcular la potencia de un monomio se eleva al exponente el coeficiente y cada una de las incógnitas de las variables de la parte literal.

PARA HACERLO SE ELEVA, CADA ELEMENTO DE ESTE, AL EXPONENTE DE LA POTENCIA.

mejor vamos a ver un ejemplo... espero no sea tanto lío jiji

CALCULA: [A(x,y)]² 

siendo el monomio A(x,y)= -2x²y³ 

[A(x,y)]²= (-2x²y³)²= (-2)². (x²)².(y³)²=

                    = 4.x⁴.y⁶ 

👍 ya lo tengo hay que fiarse algo mejor...  

• Empezamos por el coeficiente (-2)² que al elevarlo a un exponente PAR  pasaba a ser positivo, -.- =+ y lo elevamos al cuadrado. Da 4
• Seguimos con la variante (x²)² como ya sabes en las potencias se multiplicaban los exponentes entonces da x⁴
• Lo mismo hacemos con la otra variante la (y³)² se vuelven a multiplicar los exponentes. Da y⁶
• LA SOLUCIÓN ES..... 4X⁴Y⁶

 AHORA SI ES FÁCIL...

         TE REPITO EL EJERCICIO  

    [A(x,y)]²= (-2x²y³)²= (-2)². (x²)².(y³)²=

                    = 4.x⁴.y⁶    

DIVISIÓN DE MONOMIOS.

La división de dos monomios (semejantes o no) es otro monomio que tiente como coeficiente la división de los coeficientes, como variable la misma y grado es la resta de los grados de los monomios factores. 

Tampoco pueden dividirse los monomios cuando en el

divisor aparece una letra con una potencia

mayor que en el dividendo. El resultado no sería

un monomio, pues quedaría, al restar los exponentes,

un exponente negativo (recuérdese que los expon

entes de las letras deben ser positivos).

Dividiremos números entre números y letras entre letras 

Atención. el resultado de dividir dos monomios no  siempre es un monomio.

ya veras con estos ejemplos.

(12x⁸) : (3x⁵) =4x³   ⇒    el resultado es un monomio

• casos especiales.

                            

Tampoco pueden dividirse los monomios cuando en el

divisor aparece una letra con una potencia

mayor que en el dividendo. El resultado no sería

un monomio, pues quedaría, al restar los exponentes,

un exponente negativo (recuérdese que los expon

entes de las letras deben ser positivos).

Tampoco pueden dividirse los monomios cuando en el

divisor aparece una letra con una potencia

mayor que en el dividendo. El resultado no sería

un monomio, pues quedaría, al restar los exponentes,

un exponente negativo (recuérdese que los expon

entes de las letras deben ser positivos).

 21xy³ : 7x²y⁴⇒ 3x-¹y-¹⇒   salen potencias negativas

                                                      no es un monomio

• dividimos los coeficientes 21:7=3
• pero la resta de los grados de (X) vemos que al restar, los exponentes la resta queda....

     1-2= da -1 (x¹:x²) da exponente negativo x-¹ . 

• lo mismo pasa con la resta de los exponentes de la variante  y.

     3-4= -1 (y³: y⁴)es y-¹

• Entonces quedaría así 3x-¹y-¹ como salen potencias negativas no es un monomio es una expresión algebraica porque tiene potencias negativas...

    otro ejemplo...

  15a³b² : 5a³b⁵= 3b-³ así sería el resultado

• fíjate hemos tachado a³ con a³   para simplificar porque a³ :a³ =1(multiplicar por uno no lo hago).

•  un ejercicio resuelto

Indica en cada caso si son monomios divisibles.

.

• a) 25x³y⁴z        10x⁴yz

a) No lo son. El primero no es divisible por el segundo porque el grado de la variable x en el segundo es mayor. El segundo no es divisible entre  el primero, porque el grado de la variable y es mayor en el primero.

• b) 18ab³c          9ab² c 

     b) Si lo son. Es divisible el primero entre el segundo, ya que tienen las mismas variables y los grados en las variables del primer monomio son mayores o iguales que en los del segundo. El resultado es 2b.